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二項係数に関する公式を感覚的に理解する

math

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高校数学で学ぶ二項係数の公式に以下のものがある。
{_nC_r}={_{n-1}C_{r-1}}+{_{n-1}C_{r}}
これは以下のような例で考えると感覚的に分かる。

  • 10冊の漫画本から3冊を選ぶことを考える。選び方は{_{10}C_3}通りある。
  • 3冊の中に漫画の1巻を含める場合と含めない場合とに場合分けしてみる。すると以下のようになる。
    1. 含める場合:残り2冊を9冊から選ぶので、{_{9}C_2}
    2. 含めない場合:残り3冊を9冊から選ぶので、{_{9}C_3}
  • 以上から、以下の式が成り立つ。

{_{10}C_3}={_{9}C_2}+{_{9}C_3}

この式は、最初に挙げた公式と一致していることがわかる。

参考

  • 高校の数学の教科書