高校数学のベクトルを復習

高校時代のベクトル、つまり幾何と深く結びついた2次元or3次元のベクトルについて、すっかり忘れていた内容を以下にまとめた。自分用のまとめなので、全然網羅性はない。

内積の定義

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$

内積と成分

$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$
余弦定理を使って導く。

中線定理

△ABCの辺BCの中点をMとしたとき、 $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$ が成り立つ。

三角形の面積

点O, A, Bからなる△OABの面積 $S$ は
$S=\frac{1}{2}\sqrt{ |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 }$
これは $S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$ を2乗して導く。

さらに $A(a_1, a_2), B(b_1, b_2)$ のとき
$S=\frac{1}{2}|a_1b_2 - a_2b_1|$

位置ベクトル

平面上に点Oをあらかじめ定める。
点Aの位置ベクトル $\vec{a}$ は以下で定義される。
$\vec{a}=\vec{OA}$
また位置ベクトルが $\vec{a}$ である点Aを、 $A(\vec{a})$ で表す。

線分の内分、外分

点Aの位置ベクトルが $\vec{a}$ 、点Bの位置ベクトルが $\vec{b}$ のとき、
線分ABをm:nに内分する点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ は
$\vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$
線分ABをm:nに外分する点Qの位置ベクトル $\vec{q}$ は
$\vec{q}=\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$

2点を通る直線のベクトル方程式

2点 $A(\vec{a})$ , $B(\vec{b})$ を通る直線のベクトル方程式は
$\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$
または、 $1-t=s$ 、つまり $s+t=1$ とおいて以下のように表してもよい。
$\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$

※ともに $\vec{p}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})$ から導ける

あるベクトルに垂直な直線のベクトル方程式

ベクトル $\vec{n}$ に垂直で、かつ点A( $\vec{a}$ )を通る直線の方程式は
$\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a}) = 0$
これを座標で表す。点A $(x_1, y_1)$ , $\vec{n}=(a, b)$ とすると、直線上の点 $(x, y)$ は
$a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$
を満たす。
これより、直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトルは、 $\vec{n}=(a, b)$ であることがわかる。