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高校数学のベクトルを復習

math

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高校時代のベクトル、つまり幾何と深く結びついた2次元or3次元のベクトルについて、すっかり忘れていた内容を以下にまとめた。自分用のまとめなので、全然網羅性はない。

内積の定義

\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta

内積と成分

\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2
余弦定理を使って導く。

中線定理

△ABCの辺BCの中点をMとしたとき、AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)が成り立つ。

三角形の面積

点O, A, Bからなる△OABの面積S
S=\frac{1}{2}\sqrt{ |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 }
これはS=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \thetaを2乗して導く。

さらにA(a_1, a_2), B(b_1, b_2)のとき
S=\frac{1}{2}|a_1b_2 - a_2b_1|

位置ベクトル

平面上に点Oをあらかじめ定める。
点Aの位置ベクトル\vec{a}は以下で定義される。
\vec{a}=\vec{OA}
また位置ベクトルが\vec{a}である点Aを、A(\vec{a})で表す。

線分の内分、外分

点Aの位置ベクトルが\vec{a}、点Bの位置ベクトルが\vec{b}のとき、
線分ABをm:nに内分する点Pの位置ベクトル\vec{p}
\vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}
線分ABをm:nに外分する点Qの位置ベクトル\vec{q}
\vec{q}=\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}

2点を通る直線のベクトル方程式

2点A(\vec{a}), B(\vec{b})を通る直線のベクトル方程式は
\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}
または、1-t=s、つまりs+t=1とおいて以下のように表してもよい。
\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}

※ともに\vec{p}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})から導ける

あるベクトルに垂直な直線のベクトル方程式

ベクトル\vec{n}に垂直で、かつ点A(\vec{a})を通る直線の方程式は
\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a}) = 0
これを座標で表す。点A(x_1, y_1), \vec{n}=(a, b)とすると、直線上の点(x, y)
a(x-x_1)+b(y-y_1)=0
を満たす。
これより、直線ax+by+c=0の法線ベクトルは、\vec{n}=(a, b)であることがわかる。

円のベクトル方程式

中心が点C(\vec{c})、半径がrである円のベクトル方程式は、円周上の点をP(\vec{p})として
|\vec{p}-\vec{c}|=r
と表せる。

3点を通る平面のベクトル方程式

2点A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})を通る平面のベクトル方程式は
\vec{p}=r\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}
ただし、r+s+t=1