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○○行列のまとめ その2

math octave

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前回の続き。

随伴行列(adjoint matrix)

ある行列Aがあったとき、Aの転置をとり、各要素を複素共役で置き換えた行列を、Aの随伴行列と呼び、A^*と書く。 "共役転置行列"と呼ぶこともあるようだ。

Octaveで随伴行列を得るには、以下の2種類の書き方がある(複素共役転置 - MATLAB ctranspose - MathWorks 日本

octave:> A = [ 1 + 2i 3 - 2i ; 5i -2 + 3i ]
A =

   1 + 2i   3 - 2i
   0 + 5i  -2 + 3i

octave:> A' # Aの随伴行列
ans =

   1 - 2i   0 - 5i
   3 + 2i  -2 - 3i

octave:> ctranspose(A)  # Aの随伴行列
ans =

   1 - 2i   0 - 5i
   3 + 2i  -2 - 3i

エルミート行列(Hermitian matrix)

A^* = Aとなる行列。対称行列を複素内積空間の世界に拡張したもの。以下の例はWikipediaより引用したもの。例:

octave:> A = [[2 2+i 4; 2-i 3 i; 4 -i 1]]
A =

   2 + 0i   2 + 1i   4 + 0i
   2 - 1i   3 + 0i   0 + 1i
   4 + 0i  -0 - 1i   1 + 0i

ユニタリ行列

A^* = A^{-1}となる行列。直交行列を複素内積空間の世界に拡張したもの。例:

octave:> A = [1/sqrt(2)  1/sqrt(2)  0;  -1/sqrt(2)*i  1/sqrt(2)*i 0; 0 0 i]
A =

   0.70711 + 0.00000i   0.70711 + 0.00000i   0.00000 + 0.00000i
  -0.00000 - 0.70711i   0.00000 + 0.70711i   0.00000 + 0.00000i
   0.00000 + 0.00000i   0.00000 + 0.00000i   0.00000 + 1.00000i

置換行列(permutation matrix)

どの行も、かつどの列も、1をひとつだけ持ち、残りが0であるような行列。例:

octave:> A = [0 1 0 0; 0 0 0 1; 1 0 0 0; 0 0 1 0]
A =

   0   1   0   0
   0   0   0   1
   1   0   0   0
   0   0   1   0

疎行列(sparse matrix)

成分のほとんどがゼロである行列。

ヘッセンベルグ行列(Hessenberg matrix)

三角行列よりも、一つ上、もしくは一つ下の位置まで、0でない成分が侵食しているような行列。QR法で固有値を求めるときに出てくる。

以下、書きかけ。。。

余因子行列

同伴行列(コンパニオン行列) (companion matrix)

多項式の係数をとって定義される行列。

表現行列